Saltar al contenido

¿Cuál es el gran problema con el número de Euler?

septiembre 29, 2021

Las matemáticas tienen muchas constantes importantes que dan estructura a la disciplina, como pi y I, el número imaginario igual a la raíz cuadrada de -1. Pero una constante que es igualmente importante, aunque quizás menos conocida, es la constante de Euler, mi.

Te encantan los números. Nosotros también. Analicemos juntos los números.

Aparece todo el tiempo en matemáticas y física, más comúnmente como base en funciones logarítmicas y exponenciales. Se utiliza para calcular el interés compuesto, la tasa de desintegración radiactiva y la cantidad de tiempo que se tarda en descargar un condensador. Como dice Stefanie Reichert Física de la naturaleza, «No podemos escapar del número de Euler».

Pero, ¿de dónde se origina la constante de Euler? Y que exactamente es ¿eso?

¿Qué es la constante de Euler?

Este contenido se importa de YouTube. Es posible que pueda encontrar el mismo contenido en otro formato, o puede encontrar más información en su sitio web.

La constante de Euler, a la que también verá que algunos expertos en matemáticas se refieren como número de Euler, es un número irracional, lo que significa que no se puede reducir a una fracción simple. Como pi mi’Los decimales continúan para siempre sin repetirse. Si quieres ser técnico, esto es lo que mi se parece al punto decimal 100:

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957
49669676277240766303535475945713821785251664274 …

Si alguna vez ha tomado un curso de cálculo de nivel de entrada, probablemente se haya encontrado con la constante de Euler, ya que es la base de los logaritmos naturales. Se parece a esto: mien x= X.

NumberphileYouTube

Mientras grafica la ecuación y = eX, encontrará que la pendiente de esa curva en cualquier punto dado también es miX, y el área bajo la curva desde infinito negativo hasta X es además miX. La constante de Euler es el único número en todas las matemáticas que se puede insertar en la ecuación y = nX por lo que este patrón es cierto.

¿Quién descubrió la constante de Euler?

ilustración antigua del científico leonhard euler

ilbuscaimágenes falsas

La historia de mi es un poco complicado e incluye las contribuciones de tres matemáticos: John Napier, Jacob Bernoulli y Leonard Euler. Para la versión larga, mira esta pieza en Paraíso del cantor, una publicación de Medium centrada en matemáticas. Para la versión corta, sigue leyendo.

En el siglo XVII, Napier, matemático, físico y astrónomo escocés, comenzó a buscar una forma más sencilla de multiplicar números muy grandes. Específicamente, quería encontrar un atajo para exponentes. Si bien Napier no descubrió el número mi, se le ocurrió una lista de logaritmos que sin saberlo calculó con la constante. Publicó su trabajo, Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, en 1614.



Pasarían unos 70 años más antes de que esta lista de logaritmos se asociara con exponentes. En 1683, el matemático suizo Jacob Bernoulli descubrió la constante mi mientras se resuelve un problema financiero relacionado con el interés compuesto. Vio que a través de intervalos cada vez más compuestos, su secuencia se acercaba a un límite (la fuerza del interés). Bernoulli anotó este límite, como norte sigue creciendo, como mi.

ecuación de interés compuesto

Courtney Linder / PM

Finalmente, en 1731, el matemático suizo Leonhard Euler dio el número mi su nombre después de demostrar que es irracional expandiéndolo en una serie infinita convergente de factoriales.

Utilice la constante de Euler para calcular el interés compuesto

número de Eulers que se extiende hasta el infinito

ROBERT BROOK / BIBLIOTECA DE FOTOS DE CIENCIAimágenes falsas

Porque mi está relacionado con relaciones exponenciales, el número es útil en situaciones que muestran un crecimiento constante.

Un ejemplo común, que Bernoulli exploró, está relacionado con el interés compuesto: el interés que paga por un préstamo cuando incluye tanto el capital inicial (el monto del préstamo) como el interés acumulado durante períodos anteriores en el cálculo. Es por eso que puede hacer un pago mínimo en su tarjeta de crédito todos los meses, pero nunca pagarlo en su totalidad.

Suponga que pone algo de dinero en el banco y el banco acumula ese dinero anualmente a una tasa del 100 por ciento. Después de un año, tendría el doble de la cantidad que invirtió.

Este contenido se importa de {embed-name}. Es posible que pueda encontrar el mismo contenido en otro formato, o puede encontrar más información en su sitio web.

Ahora suponga que el banco acumula el interés cada 6 meses, pero solo ofrece la mitad de la tasa de interés, o el 50 por ciento. En este caso, terminaría con 2,25 veces su inversión inicial después de un año.

Sigamos. Suponga que el banco ofrece un interés compuesto del 8,3 por ciento (1/12 del 100 por ciento) cada mes, o del 1,9 por ciento (1/52 del 100 por ciento) de interés compuesto cada semana. En ese caso, ganaría 2,61 y 2,69 veces su inversión.

Escribamos una ecuación para esto. Si hacemos norte igual al número de veces que se capitaliza el interés, entonces la tasa de interés es la recíproca, o 1 / n. La ecuación de cuánto dinero ganarías en un año es (1 + 1 / n) n. Por ejemplo, si su interés se capitaliza cinco veces al año, haría (1 + ⅕)5 = (1 + 0,2)5 = (1,2)5 = 2,49 veces su inversión inicial.

Para calcular el interés compuesto, use la ecuación: A = P (1 + r / n) ^ n, dónde A = la cantidad final, PAG = el saldo de capital inicial, r es la tasa de interés, norte es el número de veces que se aplica el interés en un período de tiempo determinado, y t es el número de períodos de tiempo transcurridos.

Entonces que pasa si norte se vuelve realmente grande? Dime, ¿infinito grande? Esta es la pregunta que Bernoulli estaba tratando de responder, pero Euler tardó 50 años en llegar y resolverla. Resulta que la respuesta es el número irracional mi, que es aproximadamente 2.71828….

¿Qué más se puede hacer con la constante de Euler?

La constante de Euler no solo es útil en finanzas. Algunos otros casos de uso comunes incluyen:

☐ Teoría de la probabilidad: Si juega un juego de ruleta y apuesta a un solo número, la probabilidad de que pierda todos los juegos, a lo largo de 37 juegos, es de aproximadamente 1 / e.

Cálculo de la vida media de los productos químicos radiactivos.

Ecuaciones para ondas (como la luz, el sonido y las ondas cuánticas) en física.


    🎥 Ahora mira esto:

    Este contenido es creado y mantenido por un tercero y se importa a esta página para ayudar a los usuarios a proporcionar sus direcciones de correo electrónico. Es posible que pueda encontrar más información sobre este y contenido similar en piano.io