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Envuelva su cabeza alrededor de la enormidad del árbol numérico (3)

octubre 6, 2021

Algunas conjeturas, teoremas y demostraciones matemáticas pueden adquirir un estatus profundo y cuasirreligioso como ejemplos de los límites de la comprensión humana. TREE (3) es uno de esos ejemplos.

«Tienes todos estos procesos físicos en el universo a tu alrededor. Ninguno de ellos es nada comparado con TREE (3)», dice Tony Padilla, profesor de matemáticas de la Universidad de Nottingham, en un nuevo episodio de la maravillosa serie de YouTube Numberphile.

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¿Qué es TREE (3)? Es un numero. Un número enorme más allá de nuestra capacidad de expresar con notación escrita, más allá de lo que incluso podríamos comenzar a comprender, más grande que el notoriamente gigantesco número de Graham. Sabemos que TREE (3) existe, y sabemos que es finito, pero no sabemos qué es ni cuántos dígitos tiene.

El número proviene de un simple juego de árboles, es decir, las tablas utilizadas en la teoría de grafos. En este juego, haces un bosque de árboles usando semillas. En otras palabras, crea tantos gráficos de árboles como pueda con una combinación de diferentes unidades de colores denominadas «semillas».

Solo hay dos reglas. La primera regla es que el primer árbol no debe contener más de una semilla, el segundo un máximo de dos semillas, el tercero un máximo de tres, y así sucesivamente. Se verá algo como esto:

Numberphile

La segunda regla es esta: cuando haces un árbol en el que podría estar contenido un árbol anterior, el juego termina. Ss Padilla dice, «el bosque muere». ¿Qué significa esto exactamente? Para decirlo de otra manera: si haces un gráfico de árbol que contiene un gráfico de árbol más pequeño anterior, el juego termina. Se dice que un árbol está contenido dentro de otro árbol si tiene semillas en los extremos que comparten una semilla común anteriormente en el gráfico, o un ancestro común, y ese patrón también está presente en el gráfico de árbol más grande. El video de arriba le dará un sentido mucho mejor con ejemplos, pero se parece a esto:

tree-graphs.jpg

El árbol de la izquierda contiene el árbol de la derecha.

Numberphile

El objetivo de este juego es hacer tantos árboles como puedas antes de que inevitablemente hagas uno que contenga un árbol anterior, y el bosque muere y el juego termina. Para empezar, solo use un tipo o color de semilla, que es ÁRBOL (1). Siguiendo las dos reglas del juego, puedes ver rápidamente que después del primer árbol (que es solo una semilla), se construye un segundo árbol que contiene el primero, y el juego termina después de solo un paso. Entonces TREE (1) = 1.

tree-graphs.jpg

Usando solo semillas verdes, el primer árbol es una sola semilla y el segundo árbol son dos semillas verdes, que contiene el primer árbol. El juego termina y TREE (1) = 1.

Numberphile

Ahora jugamos el juego con dos tipos de semillas, o ÁRBOL (2). Usando dos colores de semillas, como verde y rojo, puedes jugar el juego en tres pasos. Comienzas con una semilla verde, luego construyes un árbol que es dos semillas rojas (que no contiene el primer árbol), luego para el tercer árbol construyes uno que es solo una semilla roja (recuerda, el tercer árbol es un máximo de tres semillas, siempre puedes hacer menos). En el cuarto árbol, sin embargo, inevitablemente construirás uno que contenga uno de los árboles anteriores. El juego termina y TREE (2) = 3.

tree-graphs-tree2.jpg

Con dos colores de semillas, puede construir tres árboles antes de construir uno que contenga un árbol anterior. Entonces TREE (2) = 3.

Numberphile

Es posible que pueda adivinar a dónde va desde aquí. Cuando juegas con tres colores semilla, el número resultante, ÁRBOL (3), es incomprensiblemente enorme. Usando solo tres tipos de semillas y las dos reglas del juego, podrías seguir construyendo árboles por el resto de tu vida, y cada descendiente tuyo podría hacer lo mismo hasta el fin de la humanidad, hasta el fin del universo, e incluso entonces. no tendrías una cantidad de árboles que es la cantidad máxima que puedes construir sin terminar el juego. Ni siquiera empezarías a acercarte a TREE (3).

«Esto es mucho más grande que cualquier cosa que puedas imaginar en física», dice Padilla.

tree-graphs-tree3.jpg

Una posible secuencia inicial para el juego del árbol jugando con tres tipos de semillas. El número máximo de árboles que puedes construir sin terminar el juego es ÁRBOL (3).

Numberphile

Numerosos matemáticos han descubierto cosas interesantes sobre TREE (3) y este juego de árboles. Por ejemplo, el matemático estadounidense Joseph Kruskal demostró que cualquier ÁRBOL (n) finalmente dará como resultado un árbol que contiene un árbol anterior, lo que significa que cada número para n en el Árbol (n) producirá un número finito. Curiosamente, el teorema del árbol de Kruskal requería matemáticas no finitas para demostrarlo, utilizando técnicas avanzadas como la aritmética transfinita y los números ordinales.

Sin embargo, si eliges un número para n, como ÁRBOL (3) o ÁRBOL (4), teóricamente es posible resolver la prueba con aritmética finita y demostrar que ÁRBOL (3) no es infinito; simplemente no podrías resolver la prueba en una vida, o incluso en la vida del universo.

El matemático del estado de Ohio, Harvey Friedman, ideó una manera de determinar cuántos «símbolos» se necesitarían para demostrar que TREE (3) es finito, es decir, signos más o signos menos o exponentes o cualquier operación matemática. Incluso ese número, el número de símbolos, está prácticamente más allá de la comprensión. Se expresa como 2 ↑↑ 1000. Esta notación es un tipo de función exponencial recurrente, y en este caso sería 2 al 2 al 2 al 2 al 2 … mil veces.

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Numberphile realizó un pequeño experimento mental divertido usando este número. Digamos que se necesita un «tiempo de Planck» para trabajar con cada símbolo. Un tiempo de Planck es el tiempo que tarda la luz en viajar en el vacío una distancia de 1 Planck, y ese número es aproximadamente 5,39 × 10−44 s. Sirve como una aproximación decente para lo más rápido que sería físicamente posible trabajar a través de cada símbolo en la prueba TREE (3).

Incluso a este ritmo a la velocidad de la luz, el universo colapsaría antes de que se resolviera la prueba TREE (3). Si la prueba pudiera aparecer simplemente completa, sería demasiado grande para caber dentro del universo.

Asegúrese de ver el contenido adicional de Numberphile para este (arriba), que profundiza en el trabajo de Kruskal y Friedman y demuestra cómo puede hacer números que eclipsan incluso al altísimo ÁRBOL (3). Y la próxima vez que te encuentres caminando por el bosque, asegúrate de tomarte un momento para admirar los árboles.

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